1/a+1/b=(a+b)/ab
很明显 (a,b)就是在直线x+y-2=0边的二条线段.
这二条线段的解析式为 X+Y=1 X+Y=3
要求1/a+1/b=(a+b)/ab 的最小值,下面,我们令S=1/a+1/b,
实际上就是求上述二个解析式下的最小值,
先看 X+Y=1 条件下的,这时有 S=(X+Y)/(XY)=1/(XY)
因为XY第一象限,为正.柯西不等式有 X+Y≥ 2√(XY) 也就是
1≥ 2√(XY) 1/4≥XY 1/XY≥4
S≥ 4,这时的最小值为4
再看 X+Y=3这种情况下的,和上面一样,得到
S=(X+Y)/(XY)=3/(XY) 此时1/XY≥ 4/9
S≥ 3*4/9=4/3
综合二种情况,则1/a+1/b的最小值为S=4/3