解题思路:(1)先求出导函数f′(x),在函数的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,即可求出函数的单调区间;
(2)根据函数y=f(x)与g(x)的图象只有一个公共点,可求出a的范围,根据a的范围求出y=g(x)在区间[-1,0)上的最小值为h(a)即可.
(3)讨论a的正负,根据函数y=f(x)与y=g(x)的单调增区间是区间 (a-2,a)的子集建立方程组,解之即可;
(1)f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-[a/3])(x+a)
∵a<0,
∴[a/3]<-a
故函数f (x)在区间(-∞,[a/3])、(-a,+∞)上单调递增,在([a/3],-a)上单调递减(4分)
(2)∵二次函数g(x)=ax2-x-1有最大值,
∴a<0(5分)
由f(x)=g(x)得:x(x2-a2+1)=0(6分)
∵函数y=f(x)与g(x)的图象只有一个公共点,
∴-a2+1≥0得-1≤a≤1,又a<0,
∴-1≤a<0(8分)
又g(x)=a(x−
1
2a)2-[1/4a]-1,
∴h(a)=-[1/4a]-1(-1≤a<0)(10分)
(3)当a<0时,函数f (x)在区间(-∞,[a/3])、(-a,+∞)上单调递增,
函数g (x)在区间(-∞,[1/2a])上单调递增
∴
a≤
a
3
a≤
1
2a得a≤-
2
2(12分)
当a>0时,函数f (x)在区间(-∞,-a)、([a/3],+∞)上单调递增,
函数g (x)在区间([1/2a],+∞)上单调递增
∴
点评:
本题考点: 函数最值的应用.
考点点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,以及图象交点的问题,常常转化成方程根的个数,属于中档题.