(2009•襄阳模拟)己知a≠0,函数f(x)=x3+ax2-a2x-1,二次函数g(x)=ax2-x-1.

1个回答

  • 解题思路:(1)先求出导函数f′(x),在函数的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,即可求出函数的单调区间;

    (2)根据函数y=f(x)与g(x)的图象只有一个公共点,可求出a的范围,根据a的范围求出y=g(x)在区间[-1,0)上的最小值为h(a)即可.

    (3)讨论a的正负,根据函数y=f(x)与y=g(x)的单调增区间是区间 (a-2,a)的子集建立方程组,解之即可;

    (1)f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-[a/3])(x+a)

    ∵a<0,

    ∴[a/3]<-a

    故函数f (x)在区间(-∞,[a/3])、(-a,+∞)上单调递增,在([a/3],-a)上单调递减(4分)

    (2)∵二次函数g(x)=ax2-x-1有最大值,

    ∴a<0(5分)

    由f(x)=g(x)得:x(x2-a2+1)=0(6分)

    ∵函数y=f(x)与g(x)的图象只有一个公共点,

    ∴-a2+1≥0得-1≤a≤1,又a<0,

    ∴-1≤a<0(8分)

    又g(x)=a(x−

    1

    2a)2-[1/4a]-1,

    ∴h(a)=-[1/4a]-1(-1≤a<0)(10分)

    (3)当a<0时,函数f (x)在区间(-∞,[a/3])、(-a,+∞)上单调递增,

    函数g (x)在区间(-∞,[1/2a])上单调递增

    a≤

    a

    3

    a≤

    1

    2a得a≤-

    2

    2(12分)

    当a>0时,函数f (x)在区间(-∞,-a)、([a/3],+∞)上单调递增,

    函数g (x)在区间([1/2a],+∞)上单调递增

    点评:

    本题考点: 函数最值的应用.

    考点点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,以及图象交点的问题,常常转化成方程根的个数,属于中档题.