Question

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则 [1/a]+[1/b]

Answer 1

解题思路：先求出圆心和半径，由弦长公式求得圆心到直线2ax-by+2=0的距离d=0，直线2ax-by+2=0经过圆心，可得a+b=1，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．

圆x²+y²+2x-4y+1=0 即 （x+1）²+（y-2）²=4，圆心为（-1，2），半径为 2，

设圆心到直线2ax-by+2=0的距离等于 d，则由弦长公式得 2

4−d2=4，d=0，即

直线2ax-by+2=0经过圆心，∴-2a-2b+2=0，a+b=1，

则 [1/a]+[1/b]=[a+b/a]+[a+b/b]=2+[b/a]+[a/b]≥2+2

b

a•

a

b=4，当且仅当a=b时等号成立，

故式子的最小值为 4，故答案为 4．

点评：

本题考点： 基本不等式；直线与圆相交的性质．

考点点评： 本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用．