解题思路:(1)求导函数,计算判别式,利用导数的正负,即可确定函数的单调区间;
(2)求出g′(x),令g′(x)=3可得切点的坐标,可求a的值,利用f′(x)=3,可求b的值.构造函数φ(x)=f(x)-g(x),求导函数,确定函数的单调性,证明φ(x)≥0即可;
(3)KAC=
g(t)−g(
x
1
)
t−
x
1
,KBC=
g(t)−g(
x
2
)
t−
x
2
,构造h(t)=(1+2t)(g(t)-g(x1))-(3+2t)(t-x1),证明h(t)>0,可得KAC>[3+2t/1+2t],同理可证:KBC<[3+2t/1+2t],从而可得结论.
(1)f′(x)=8x2-4x+b,△=16-32b
①当△≤0即b≥[1/2]时,f′(x)≥0在R上恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
②当△>0即b<[1/2]时,由f′(x)=0得x1=
1−
1−2b
4,x2=
1+
1−2b
4
若f′(x)>0,则x<
1−
1−2b
4或x>
1+
1−2b
4
若f′(x)>0,则
1−
1−2b
4<x<
1+
1−2b
4
∴f(x)的单调增区间为:(-∞,
1−
1−2b
4],[
1+
1−2b
4,+∞);f(x) 的单调减区间为:[
1−
1−2b
4,
1+
1−2b
4]
综上所述:当b≥[1/2]时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当b<[1/2]时,f(x)的单调增区间为:(-∞,
1−
1−2b
4],[
1+
1−2b
4,+∞);f(x) 的单调减区间为:[
1−
1−2b
4,
1+
1−2b
4]
…(4分)
(2)g′(x)=[2/1+2x]+1=[3+2x/1+2x],令g′(x)=3得:x=0,∴切点为(0,0),∴f(0)=0,∴a=0
∵f′(x)=8x2-4x+b|x=0=b=3,∴a=0,b=3…(6分)
令φ(x)=f(x)-g(x),则φ′(x)=f′(x)-g′(x)=
16x3
1+2x
∴φ(x)在(-[1/2],0)上单调递减,在(0,+∞)单调递增,
∴φ(x)≥φ(0)=f(0)-g(0)=0
∴φ(x)≥0即:f(x)≥g(x) …(8分)
(3)KAC=
g(t)−g(x1)
t−x1,KBC=
g(t)−g(x2)
t−x2
令h(t)=(1+2t)(g(t)-g(x1))-(3+2t)(t-x1)
则h′(t)=2 (g(t)-g(x1))+(1+2t)g′(t)-2(t-x1)-(3+2t)=2 (g(t)-g(x1))-2(t-x1)=2(ln(1+2t)-ln(1+2x1))
∵y=ln(1+2x)在(-[1/2],+∞)上单调递增,且t>x1,
∴ln(1+2t)-ln(1+2x1)>0,∴h′(t)>0
∴h(t)在(x1,t)上单调递增,∴h(t)>h(x1)=0
∴(1+2t)(f(t)-f(x1))-(3+2t)(t-x1)>0
∴(1+2t)(f(t)-f(x1))>(3+2t)(t-x1)
∵t-x1>0,1+2t>0,∴
g(t)−g(x1)
t−x1>[3+2t/1+2t]即KAC>[3+2t/1+2t]
同理可证:KBC<[3+2t/1+2t]
∴KAC>KBC即割线AC的斜率大于割线BC的斜率;…(12分)
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,解题的关键是构造函数,利用导数求解.