已知函数f(x)=[8/3]x3-2x2+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x.

1个回答

  • 解题思路:(1)求导函数,计算判别式,利用导数的正负,即可确定函数的单调区间;

    (2)求出g′(x),令g′(x)=3可得切点的坐标,可求a的值,利用f′(x)=3,可求b的值.构造函数φ(x)=f(x)-g(x),求导函数,确定函数的单调性,证明φ(x)≥0即可;

    (3)KAC=

    g(t)−g(

    x

    1

    )

    t−

    x

    1

    ,KBC=

    g(t)−g(

    x

    2

    )

    t−

    x

    2

    ,构造h(t)=(1+2t)(g(t)-g(x1))-(3+2t)(t-x1),证明h(t)>0,可得KAC>[3+2t/1+2t],同理可证:KBC<[3+2t/1+2t],从而可得结论.

    (1)f′(x)=8x2-4x+b,△=16-32b

    ①当△≤0即b≥[1/2]时,f′(x)≥0在R上恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;

    ②当△>0即b<[1/2]时,由f′(x)=0得x1=

    1−

    1−2b

    4,x2=

    1+

    1−2b

    4

    若f′(x)>0,则x<

    1−

    1−2b

    4或x>

    1+

    1−2b

    4

    若f′(x)>0,则

    1−

    1−2b

    4<x<

    1+

    1−2b

    4

    ∴f(x)的单调增区间为:(-∞,

    1−

    1−2b

    4],[

    1+

    1−2b

    4,+∞);f(x) 的单调减区间为:[

    1−

    1−2b

    4,

    1+

    1−2b

    4]

    综上所述:当b≥[1/2]时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当b<[1/2]时,f(x)的单调增区间为:(-∞,

    1−

    1−2b

    4],[

    1+

    1−2b

    4,+∞);f(x) 的单调减区间为:[

    1−

    1−2b

    4,

    1+

    1−2b

    4]

    …(4分)

    (2)g′(x)=[2/1+2x]+1=[3+2x/1+2x],令g′(x)=3得:x=0,∴切点为(0,0),∴f(0)=0,∴a=0

    ∵f′(x)=8x2-4x+b|x=0=b=3,∴a=0,b=3…(6分)

    令φ(x)=f(x)-g(x),则φ′(x)=f′(x)-g′(x)=

    16x3

    1+2x

    ∴φ(x)在(-[1/2],0)上单调递减,在(0,+∞)单调递增,

    ∴φ(x)≥φ(0)=f(0)-g(0)=0

    ∴φ(x)≥0即:f(x)≥g(x) …(8分)

    (3)KAC=

    g(t)−g(x1)

    t−x1,KBC=

    g(t)−g(x2)

    t−x2

    令h(t)=(1+2t)(g(t)-g(x1))-(3+2t)(t-x1

    则h′(t)=2 (g(t)-g(x1))+(1+2t)g′(t)-2(t-x1)-(3+2t)=2 (g(t)-g(x1))-2(t-x1)=2(ln(1+2t)-ln(1+2x1))

    ∵y=ln(1+2x)在(-[1/2],+∞)上单调递增,且t>x1

    ∴ln(1+2t)-ln(1+2x1)>0,∴h′(t)>0

    ∴h(t)在(x1,t)上单调递增,∴h(t)>h(x1)=0

    ∴(1+2t)(f(t)-f(x1))-(3+2t)(t-x1)>0

    ∴(1+2t)(f(t)-f(x1))>(3+2t)(t-x1

    ∵t-x1>0,1+2t>0,∴

    g(t)−g(x1)

    t−x1>[3+2t/1+2t]即KAC>[3+2t/1+2t]

    同理可证:KBC<[3+2t/1+2t]

    ∴KAC>KBC即割线AC的斜率大于割线BC的斜率;…(12分)

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,解题的关键是构造函数,利用导数求解.