Question

下列说法不正确的是（　　）A．在水的净化中，过滤和吸附都属于物理变化B．高炉炼铁中所需的高温和CO的生成都与焦炭有关C．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{b_n}的公差为d（d≠0），

Sn

S2n＝k，因为b₁=1，则n+

1

2n(n−1)d＝k[2n+

1

2•2n(2n−1)d]，即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．

整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．

因为对任意正整数n上式恒成立，则

d(4k−1)＝0

(2k−1)(2−d)＝0，解得

d＝2

k＝

1

4．

故数列{b_n}的通项公式是b_n=2n-1．

（Ⅱ）由已知，当n=1时，c₁³=S₁²=c₁²．因为c₁＞0，所以c₁=1．

当n≥2时，c₁³+c₂³+c₃³++c_n³=S_n²，c₁³+c₂³+c₃³++c_n-1³=S_n-1²．

两式相减，得c_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=c_n•（S_n+S_n-1）．

因为c_n＞0，所以c_n²=S_n+S_n-1=2S_n-c_n．

显然c₁=1适合上式，所以当n≥2时，c_n-1²=2S_n-1-c_n-1．

于是c_n²-c_n-1²=2（S_n-S_n-1）-c_n+c_n-1=2c_n-c_n+c_n-1=c_n+c_n-1．

因为c_n+c_n-1＞0，则c_n-c_n-1=1，所以数列{c_n}是首项为1，公差为1的等差数列．

所以

Sn

S2n＝

n(n+1)

2n(2n+1)＝

n+1

4n+2不为常数，故数列{c_n}不是“科比数列”．