Question

已知函数f（x）=(x²+2x+a)/x,x∈[1,+ ∞） （1）当a=½时,求函数f（x）的最小值；（2）若任意x∈

Answer 1

1）f‘(x)=2x+2-1/（2x^2）,显然x∈[1,＋∞）时f‘(x)>0,f(x)为增函数

∴ f(x)min=f(1)=7/2

（2）f(x)>0恒成立

x^2+2x+a / x>0对任意x属于[1,正无穷）恒成立

即X^3+2x^2+a>0对任意x属于[1,正无穷）恒成立

即a>-（X^3+2x^2） 令g（x）=-（X^3+2x^2）g’（x）=-3x^2-4x

g’（x）在x∈[1,＋∞）上为减函数

∴a>g（1）=-3

即a∈(-3,＋∞）