已知函数f(x)= x 3 -(2m+1)x 2 -6m(m-1)x+1,x∈R,

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  • 已知函数f(x)=

    x 3-(2m+1)x 2-6m(m-1)x+1,x∈R,

    (1)当m=-1时,求函数y=f(x)在[-1,5]上的单调区间和最值;

    (2)设f′(x)是函数y=f(x)的导数,当函数y=f′(x)的图象在(-1,5)上与x轴有唯一的公共点时,求实数m的取值范围.

    (1)当m=-1时,

    的两个根为x=-3或x=2,

    所以f(x)在(-1,2)上单调递减,在(2,5)上单调递增,

    故函数f(x)在[-1,5]上的最大值为

    ,最小值为

    (2)由已知有

    函数f′(x)的图象与x轴的公共点的横坐标就是方程x 2-(2m+1)x-3m(m-1)=0(*)的实数根,

    即方程(*)在(-1,5)上有等根或有一个实根,

    ①当△=0时,有

    ,此时

    ,故

    为所求;

    ②当△>0时,令

    设H(-1)·H(5)≤0,即

    ,解得

    检验端点,当m=-4和m=2时,不符合条件,舍去;

    综上,实数m的取值范围是