已知函数f(x)=
x 3-(2m+1)x 2-6m(m-1)x+1,x∈R,
(1)当m=-1时,求函数y=f(x)在[-1,5]上的单调区间和最值;
(2)设f′(x)是函数y=f(x)的导数,当函数y=f′(x)的图象在(-1,5)上与x轴有唯一的公共点时,求实数m的取值范围.
(1)当m=-1时,
,
∴
的两个根为x=-3或x=2,
所以f(x)在(-1,2)上单调递减,在(2,5)上单调递增,
又
,
故函数f(x)在[-1,5]上的最大值为
,最小值为
。
(2)由已知有
,
函数f′(x)的图象与x轴的公共点的横坐标就是方程x 2-(2m+1)x-3m(m-1)=0(*)的实数根,
即方程(*)在(-1,5)上有等根或有一个实根,
①当△=0时,有
,此时
,故
为所求;
②当△>0时,令
,
设H(-1)·H(5)≤0,即
,解得
或
,
检验端点,当m=-4和m=2时,不符合条件,舍去;
综上,实数m的取值范围是
或
或
。