解题思路:当△ABC是锐角三角形时,过点A作AD⊥BC,垂足为D,设CD为x,根据AD不变由勾股定理得出等式b2-x2=AD2=c2-(a-x)2
,化简得出a2+b2>c2.当△ABC是钝角三角形时过B作BD⊥AC,交AC的延长线于D.设CD为y,根据勾股定理,得(b+x)2+a2-x2=c2.化简得出a2+b2<c2.
若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2(1分)
若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b2<c2.(2分)
当△ABC是锐角三角形时,
证明:过点A作AD⊥BC,垂足为D,设CD为x,则有BD=a-x(3分)
根据勾股定理,得b2-x2=AD2=c2-(a-x)2
即b2-x2=c2-a2+2ax-x2.
∴a2+b2=c2+2ax(5分)
∵a>0,x>0,
∴2ax>0.
∴a2+b2>c2.(6分)
当△ABC是钝角三角形时,
证明:过B作BD⊥AC,交AC的延长线于D.
设CD为y,则有BD2=a2-y2(7分)
根据勾股定理,得(b+y)2+a2-y2=c2.
即a2+b2+2by=c2.(9分)
∵b>0,y>0,
∴2by>0,
∴a2+b2<c2.(10分)
点评:
本题考点: 勾股定理.
考点点评: 本题考查了勾股定理的运用.通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键.