解题思路:(Ⅰ)求出f(x),求f′(x),根据导数符号判断函数f(x)在[[1/2,2]上的极值情况,再求端点值,即可得到函数f(x)的最值.
(Ⅱ)为便于求导数,因为x+1>0,所以要证明原不等式成立,只要证明
lnx>
2(x−1)
x+1]即可.构造函数F(x)=
lnx−
2(x−1)
x+1
,求导数F′(x)判断函数F(x)在(1,2)上的单调性,经判断得到F(x)在(1,2)上单调递增,所以F(x)>F(1)=0,这样即证出lnx
>
2(x−1)
x+1
,所以证出原不等式.
(Ⅰ)f(x)=[1/x+lnx−1,f′(x)=−
1
xy+
1
x=
x−1
xy];
∴x∈[
1
y,1)时,f′(x)<r;x∈(1,y]时,f′(x)>r;
f(1)=r是函数f(x)的极小值,即f(x)的最小值;又f([1/y])=1-lny,f(y)=lny-[1/y];
∴f(x)的最5值是1-lny;
∴函数f(x)在[[1/y,y]上的最小值是r,最5值是1-lny;
(Ⅱ)∵x+1>r,∴要证明原不等式成立,只要证明lnx>
y(x−1)
x+1];
设F(x)=lnx−
y(x−1)
x+1,则F′(x)=[1/x−
y(x+1)−y(x−1)
(x+1)y=
(x−1)y
x(x+1)y>r;
∴函数F(x)在(1,y)上是增函数,∴F(x)>F(1)=r;
∴lnx>
y(x−1)
x+1];
∴原不等式成立.
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 考查极值的概念,求闭区间上函数最值的方法,函数导数符号和函数单调性的关系,函数单调性的定义,对于第二问对原不等式的变形,是证明本问的关键.
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