Question

对于函数f（x）=a-22x+1（a∈R）

Answer 1

解题思路：（1）若函数f（x）=a-

2

2

x

+1

为奇函数，则f（0）=0，进而可求出满足条件的实数a值．

（2）任取x₁＜x₂，判断f（x₁），f（x₂）的大小，进而根据函数单调性的定义可判断出函数f（x）的单调性．

（1）若函数f（x）=a-

2

2x+1为奇函数，

则f（0）=a-1=0，

解得：a=1，

当a=1时，f（x）=1-

2

2x+1=

2x−1

2x+1满足f（-x）=-f（x），

故存在a=1使函数f（x）为奇函数．

（2）设x₁＜x₂，则2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1＜2x2

∴f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1-（a-

2

2x2+1）

=

2

2x2+1-

2

2x1+1=

2(2x1−2x2)

(2x1+1)(2x2+1)＜0，

即f（x₁）＜f（x₂），

故函数f（x）为增函数

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断，熟练掌握函数奇偶性和函数单调性的定义是解答的关键．