Question

（2014•郑州模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上有一点Q（2，y0）到焦点F的距离为[5/2]．

Answer 1

解题思路：（I）由抛物线C：y²=2px（p＞0），可得焦点，利用弦长公式可得p．把点Q（2，y₀）代入抛物线方程可得y₀．

（II）把直线的 方程与抛物线方程联立可得△＞0及根与系数的关系，再利用三角形的面积公式即可得出．

（I）由抛物线C：y²=2px（p＞0），可得焦点(

p

2，0)，

∵抛物线上的点Q（2，y₀）到焦点F的距离为[5/2]．

∴2+

p

2＝

5

2，p=1．

∴y²=2x，

把Q（2，y₀）代入抛物线方程，解得y₀=±2．

（II）联立

y＝kx+b

y2＝2x，得：k²x²+2（kb-1）x+b²=0（k≠0），△＞0，即1-2kb＞0，

x1+x2＝

2(1−kb)

k2，x1x2＝

b2

k2．

|y1−y2|2＝k2|x1−x2|2＝k2[(x1+x2)2−4x1x2]=

4(1−2kb)

k2＝4，

∴1-2kb=k²，

M(

1−kb

k2，

1

k)，D(

1

2k2，

1

k)，

∴△ABC的面积S＝

1

2|MD|•|y1−y2|＝

1

2×|

1−2kb

2k2|×2＝

1

2．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．

考点点评： 本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、弦长公式、直线与抛物线相交问题转化为△＞0及根与系数的关系、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．