Question

设数列满足a1=2，an+1-an=3•22n-1

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由题意得a_n+1=[（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）]+a₁=3（2^2n-1+2^2n-3+…+2）+2=2^2（n+1）-1．由此可知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^2n-1．

（Ⅱ）由b_n=na_n=n•2^2n-1知S_n=1•2+2•2³+3•2⁵++n•2^2n-1，由此入手可知答案．

（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a_n+1=[（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）]+a₁

=3（2^2n-1+2^2n-3+…+2）+2=2^2（n+1）-1．

而a₁=2，

所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^2n-1．

（Ⅱ）由b_n=na_n=n•2^2n-1知S_n=1•2+2•2³+3•2⁵+…+n•2^2n-1①

从而2²S_n=1•2³+2•2⁵+…+n•2²ⁿ⁺¹②

①-②得（1-2²）•S_n=2+2³+2⁵+…+2^2n-1-n•2²ⁿ⁺¹．

即Sn＝

1

9[(3n−1)22n+1+2]．

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．