Question

设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=nSnn2+c，n∈N*，其中c为实数．

Answer 1

解题思路：（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b₁，b₂，b₄成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到S_n，在前n项和公式中取n=nk可证结论；

（2）把S_n代入

b

n

＝

n

S

n

n

2

+c

中整理得到b_n=

(n−1)d+2a

2

−

c

(n−1)d+2a

2

n

2

+c

，由等差数列的通项公式是a_n=An+B的形式，说明

c

(n−1)d+2a

2

n

2

+c

＝0

，由此可得到c=0．

证明：（1）若c=0，则an=a1+（n-1）d，Sn＝n[(n−1)d+2a]2，bn＝nSnn2＝(n−1)d+2a2．当b1，b2，b4成等比数列时，则b22＝b1b4，即：(a+d2)2＝a(a+3d2)，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．因此：Sn＝n2a，Snk＝(nk)2a＝n2...

点评：

本题考点： 等比关系的确定；等差数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查了学生的运算能力，解答此题的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于n的一次函数，此题是中档题．