Question

（2014•宣城二模）已知函数f（x）=1-cosx（0＜x＜[π/2]）．数列{an}满足：0＜a1＜[π/2]，an

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用数学归纳法即可证明：0＜a_n＜[π/2]（n∈N^*）；

（Ⅱ）构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可证明数列{a_n}是递减数列．

（Ⅰ）①当n=1时，显然成立，

②假设n=k时，0＜a_k＜[π/2]，则cosa_k∈（0，1），

∴a_k+1=1-cosa_k∈（0，1），

∴当n=k+1时，原不等式成立，

由①②可知0＜a_n＜[π/2]（n∈N^*）；

（Ⅱ）要证数列{a_n}是递减数列，即证a_n+1＜a_n，

即证f（a_n）＜a_n，

即1-cosa_n＜a_n，

令g（x）=x+cosx-1，0＜x＜[π/2]，

g′（x）=1-sinx＞0，

∴g（x）=x+cosx-1在0＜x＜[π/2]上单调递增，

∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，

即x＞1-cosx，0＜x＜[π/2]，

∴1-cosa_n＜a_n，

即数列{a_n}是递减数列．

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的函数特性．

考点点评： 本题主要考查递推数列的应用，利用数学归纳法是解决不等式的基本方法，综合考查了函数单调性和导数之间的关系．