Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为2，O是底ABCD对角线的交点．

Answer 1

解题思路：（1）连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁连接AO₁，由正方体的几何特征，我们易得到C₁O∥AO₁，结合线面平行的判定定理，即可得到C₁O∥面AB₁D₁；

（2）由正方体的几何特征，我们可得CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁，进而得到A₁C⊥B₁D₁及A₁C⊥AB₁，由线面垂直的判定定理，即可得到A₁C⊥面AB₁D₁．

（3）若M是CC₁的中点，设B₁D₁的中点为N，则AN⊥B₁D₁，MN⊥B₁D₁，由勾股定理，我们可以判断出△AMN是RT△，进而根据面面垂直的判定定理得到平面AB₁D₁⊥平面MB₁D₁．

证明：（1）连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接AO₁，

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体

∴A₁ACC₁是平行四边形

∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC

又O₁，O分别是A₁C₁，AC的中点，

∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO

∴AOC₁O₁是平行四边形

∴C₁O∥AO₁，AO₁⊂面AB₁D₁，C₁O⊄面AB₁D₁

∴C₁O∥面AB₁D₁（5分）

（2）∵CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁

∴CC₁⊥B₁D_!

又∵A₁C₁⊥B₁D₁，

∴B₁D₁⊥面A₁C₁C

即A₁C⊥B₁D₁

同理可证A₁C⊥AB₁，

又D₁B₁∩AB₁=B₁

∴A₁C⊥面AB₁D₁（9分）

（3）设B₁D₁的中点为N，则AN⊥B₁D₁，MN⊥B₁D₁，

则MN＝

3，AN＝

6，AM＝3

∴AN²+MN²=AM²，

∴△AMN是RT△，

∴AN⊥MN，

∴AN⊥面MB₁D₁，

∴面AB₁D₁⊥面MB₁D₁．

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．

考点点评： 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，属于空间直线与平面间关系判定定理及性质定理的基本应用．