解题思路:①求出双曲线
x
2
16
−
y
2
9
=1
和椭圆
x
2
49
+
y
2
24
=1的焦点坐标,判定命题正确;
②求出方程2x2-3x+1=0的两根,结合椭圆、双曲线的离心率的范围,判定命题错误;
③根据双曲线的定义,判定命题错误;
④讨论直线l的斜率不存在和斜率为0时都不符合题意,设l为y=k(x-1)与抛物线方程联立消去y,得出A、B两点的横坐标之和,求得k的值,判定命题正确.
对于①,双曲线
x2
16−
y2
9=1的焦点坐标是(-5,0)、(5,0),
椭圆
x2
49+
y2
24=1的焦点坐标是(-5,0)、(5,0),
∴焦点相同,命题①正确;
对于②,方程2x2-3x+1=0的两根是1和[1/2],
[1/2]可作为椭圆的离心率,1既不是椭圆的离心率,也不是双曲线的离心率,
∴命题②错误;
对于③,A、B是两个定点,K为常数,
若|PA|-|PB|=K,则动点P的轨迹是双曲线的一支,∴命题③错误;
对于④,过抛物线y2=4x的焦点F(1,0)作直线l与抛物线相交于A、B两点,
当直线l的斜率不存在时,横坐标之和等于2,不合题意;
当直线l的斜率为0时,只有一个交点,不合题意;
∴设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l为y=k(x-1),
代入抛物线y2=4x得,k2x2-2(k2+2)x+k2=0;
∵A、B两点的横坐标之和等于5,
∴
2(k2+2)
k2=5,解得k2=[4/3],
∴这样的直线有且仅有两条.
综上,正确的命题是①④.
故答案为:①④.
点评:
本题考点: 命题的真假判断与应用.
考点点评: 本题通过命题真假的判定,考查了圆锥曲线的定义与简单的几何性质,直线与圆锥曲线的应用问题,是综合题目.