Question

已知抛物线y=X2-(k-1)x-k-1与x轴的交点为A和B,顶点为C,求三角形ABC的面积的最小值.

Answer 1

设A(x1,0) B(x2,0),则满足

x1+x2=k-1,x1x2=-k-1

故|x1-x2|=√[(k-1)＾2+4(k+1)]=√(k＾2+2k+5)

由于y=X2-(k-1)x-k-1=[x-(k-1)/2]＾2-(k＾2+2k+5)/4

故顶点的纵坐标为-(k＾2+2k+5)/4,

令t=k＾2+2k+5,

三角形ABC的面积为1/2 x |x1-x2| x |-(k＾2+2k+5)/4|=(1/2)(√t )t/4

显然,t越大,面积越大,故问题等价于求t的最小值（t>0)

由于t=k＾2+2k+5=（k+1)＾2+4≫4

得t的最小值为4,故

三角形ABC的面积的最小值为(1/2)(√4)（4/4）=1