∵椭圆中心是原点,焦点在x轴上,其中一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1,可以判定,此顶点必为长轴也就是x轴上的顶点（若是短轴上的顶点,由于焦点在x轴上,此顶点到两个焦点的距离应该是相等的）,若设此椭圆长轴顶点为(a,0),离它较近的一个焦点坐标为(c,0),（a>c>0）,则另一焦点坐标为(-c,0)可根据图形列出式子：
a-c=1
a-（-c）=7
a=4,c=3
∴椭圆的半短轴长度为b=√(a^-c^)=√7
因此,椭圆的标准方程为：x^/16 + y^/7 =1
设M的坐标为(x0,y0),则|OM|=√(x0^+y0^)
根据已知:|OP|/|OM|=t
|OP|=t*√(x0^+y0^)
而M本身为过P点且垂直于x轴直线上的点,故P与M的横坐标相等均为:x0
P点的纵坐标yP=√(|OP|^-x0^)=√[(t^-1)x0^ + t^y0^]
故P点坐标为（x0,√[(t^-1)x0^+ t^y0^]）
由于P是椭圆上的点,故将P点坐标代入椭圆方程,化简可得：
(16t^-9)x0^ + 16t^y0^=112
将x0,y0分别用x,y替换,即可得到常规形式的P点轨迹方程：
(16t^-9)x^ + 16t^y^=112 ①
由t=|OP|/|OM|,P为椭圆上的动点可知,|OP|>0,|OM|>0,故t>0
由①式：
当16t^-9=0即t=3/4时,P的轨迹方程化为：y=±4√7/3,于是P轨迹为两条平行于x轴的直线；
当16t^-0≠0即t≠3/4时,进一步对①式化简：
x^/ [112/(16t^-9)] + y^/ (7/t^) =1 ②
分析②式：
对系数112/(16t^-9)与7/t^展开讨论：
显然,7/t^>0
而当16t^-90,16t^-9>0,所以有：
112/(16t^-9) > 7/t^
故,x^,y^的系数均为正,且x^的大于y^的,此时P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆
综上所述：
1°当0