Question

数列{an}中，a1=1，an-12=(n−3)a2n+3an−1n−1（n≥2），当n≥2时，an＞a1

Answer 1

解题思路：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；

（2）猜想通项，利用数学归纳法进行证明；

（3）利用等比数列的求和公式，求和即可得到结论．

（1）∵a₁=1，a_n-1²=

(n−3)

a2n+3an−1

n−1，

∴a₂=1或2

∵当n≥2时，a_n＞a₁，∴a₂=2

同理，a₃=3，a₄=4；

（2）猜想a_n=n，下面用数学归纳法证明：

①n=1，2，3时，显然成立；

②假设n=k（k≥3）时，结论成立，即a_k=k，则

由a_k²=

(k−2)

a2k−1+3ak−1−1

k=k²，解得a_k+1=k+1或−

k2−k+1

k−2（舍去）

故对n=k+1时也成立

由①②可知a_n=n；

（3）b_n=（[1/2]）^a_n-1=（[1/2]）^n-1，

∴S_n=

1−(

1

2)n

1−

1

2=2−

1

2n−1＜2

∵[2n+3/n+1]=2+[1/n+1]＞2

∴S_n＜[2n+3/n+1]

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．