解题思路：（1）设出圆C的方程，求得A、B的坐标，再根据S△AOB=[1/2]OA•OB，计算可得结论．
（2）设MN的中点为H，则CH⊥MN，根据C、H、O三点共线，KMN=-2，由直线OC的斜率k=
2
t
t
=[2
t
2
=
1/2]，求得t的值，可得所求的圆C的方程．
（1）证明：由题设知，圆C的方程为（x-t）2+（y-[2/t]）2=t2+[4
t2，
化简得x2-2tx+y2-
4/t]y=0．
当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；
当x=0时，y=0或[4/t]，则B(0，
4
t)，
∴S△AOB=[1/2]OA•OB=[1/2]|2t|•|[4/t]|=4为定值．
（2）解∵OM=ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，KMN=-2，则直线OC的斜率k=
2
t
t=[2
t2=
1/2]，
∴t=2或t=-2．
∴圆心为C（2，1）或C（-2，-1），
∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5．
由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y-4=0到圆心的距离d＞r，
此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴所求的圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．
点评：
本题考点： 圆的标准方程；三角形的面积公式．
考点点评： 本题主要考查求圆的标准方程，两条直线垂直的性质，属于中档题．
1年前
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