已知关于x的方程(k-1)x2+2kx+k+3=0.

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  • 解题思路:(1)由方程有两个不相等的实数根,即可得此一元二次方程的根的判别式△>0,又由二次项系数k-1≠0,即可求得k的取值范围;

    (2)首先由方程有两个相等的实数根,即△=0,求得k的值,即可得方程y2+(a-6)y+a+1=0,又由此方程的判别式△′=(a-8)2-32,可得当(a-8)2-32是完全平方数时,方程才有可能有整数根,继而分析求解即可求得答案.

    (1)∵关于x的方程(k-1)x2+2kx+k+3=0有两个不相等的实数根,

    ∴△=b2-4ac=(2k)2-4×(k-1)×(k+3)=4k2-4k2-8k+12=-8k+12>0…(1分)

    解得:k<[3/2],

    ∵k-1≠0,即k≠1,

    ∴k的取值范围是k<[3/2]且k≠1. …(3分)

    (2)∵当方程有两个相等的实数根时,△=-8k+12=0.

    ∴k=[3/2]. …(4分)

    ∴关于y的方程为y2+(a-6)y+a+1=0.

    ∴△′=(a-6)2-4(a+1)=a2-12a+36-4a-4=a2-16a+32=(a-8)2-32.

    由a为正整数,当(a-8)2-32是完全平方数时,方程才有可能有整数根.

    设(a-8)2-32=m2(其中m为整数),32=p•q(p、q均为整数),

    ∴(a-8)2-m2=32.即(a-8+m)(a-8-m)=32.

    不妨设

    a−8+m=p

    a−8−m=q.两式相加,得a=[p+q+16/2].

    ∵(a-8+m)与(a-8-m)的奇偶性相同,

    ∴32可分解为2×16,4×8,(-2)×(-16),(-4)×(-8),

    ∴p+q=18或12或-18或-12.

    ∴a=17或14或-1(不合题意,舍去)或2.

    当a=17时,方程的两根为y=[−11±7/2],即y1=-2,y2=-9.…(5分)

    当a=14时,方程的两根为y=[−8±2/2],即y1=-3,y2=-5.…(6分)

    当a=2时,方程的两根为y=[4±2/2],即y1=3,y2=1. …(7分)

    点评:

    本题考点: 根的判别式.

    考点点评: 此题考查了一元二次方程根的判别式的应用.此题难度较大,注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac的关系,注意分类讨论思想的应用.