Question

已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n=1，2，3，…）．

Answer 1

解题思路：（1）利用数列递推式，及{a_n}是等差数列，可求其首项a₁和公差d；

（2）利用反证法，即可证得；

（3）假设存在，利用数列{a_n+kn+b}是等比数列，建立等式，即可求得{a_n}的前n项和

（1）∵a_n+1=2a_n+n+1，∴a₂=2a₁+2，a₃=2a₂+3=4a₁+7，

∵{a_n}是等差数列，∴2a₂=a₁+a₃，∴2（2a₁+2）=a₁+（4a₁+7），∴a₁=-3，a₂=-4

∴d=a₂-a₁=-1；

（2）证明：假设{a_n}是等比数列，则a22＝a1a3

∴（2a₁+2）²=a₁（4a₁+7），∴a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，

∵a₄=2a₃+4=-14，∴a32≠a2a4与等比数列矛盾

∴假设不成立

∴{a_n}不可能是等比数列；

（3）假设存在，则有

an+1+k(n+1)+b

an+kn+b=

2an+(k+1)n+k+b+1

an+kn+b=常数

∴

k+1＝2k

k+b+1＝2b，∴

k＝1

b＝2

∴{a_n+n+2}是等比数列，首项为2，公比为2

∴a_n+n+2=2ⁿ，

∴a_n=2ⁿ-n-2

∴{a_n}的前n项和为

2(1−2n)

1−2−

n(n+1)

2−2n=2n−

n2

2−

5n

2−1

点评：

本题考点： 反证法与放缩法；等差关系的确定；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查反证法的运用，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．