Question

已知定义域为[0，1]的函数f （x）同时满足：

Answer 1

（1）令x ₁=x ₂=0，依条件③可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0

又由条件（1）得f（0）≥0 故f（0）=0（4分）

（2）任取0≤x ₁＜x ₂≤1可知x ₂-x ₁∈（0，1]，则

f（x ₂）=f[（x ₂-x ₁）+x ₁]≥f（x ₂-x ₁）+f（x ₁）≥f（x ₁）

于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1因此当x=1时，f（x）取最大值1．（9分）

（3）证明：当x∈ (

1

2 ，1] 时，f（x）≤f（1）=1

当x ∈(

1

4 ，

1

2 ] 时，

1

2 ＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）

∴f（x）≤

1

2 f（2x）≤

1

2 ＜2x即f（x）＜2x．（14分）