Question

（2013•黄梅县模拟）如图是斯特林数三角阵表，表中第r行每一个数等于它右肩上的数的r-1倍再加上它左肩上的数，则此表中

Answer 1

解题思路：（1）由题意可得，第n行共有n个数，第n行的第一个 a_（n，1）=（n-1）!，且 a_{（n+1，2）}=a_（n，1）+na_（n，2）．结合所给的图形可得第6行的第二个数是a_（6，2）=a_（5，1）+5a_（5，2），计算求得结果．

（2）第n+1行的第二个数是 a_（n，1）+na_（n，2）=（n-1）!+na_（n，2），再利用迭代法求得它的值．

（1）由题意可得，第n行共有n个数，第n行的第一个 a_（n，1）=（n-1）!，

且 a_{（n+1，2）}=a_（n，1）+na_（n，2）．

结合所给的图形可得第6行的第二个数是a_（6，2）=a_（5，1）+5a_（5，2）=24+5×50=274，

故答案为 274．

（2）第n+1行的第二个数是 a_{（n+1，2）}=a_（n，1）+na_（n，2）=（n-1）!+na_（n，2）

=（n-1）!+n[a_{（n-1，1）}+（ n-1）a_{（n-1，2）}]

=（n-1）!+na_{（n-1，1）}+n（n-1）a_{（n-1，2）}

=（n-1）!+n（n-2）!+n（n-1）[a_{（n-2，1）}+（n-2）a_{（n-2，2）}]

=（n-1）!+n（n-2）!+n（n-1）（n-3）!+（n-2）[a_{（n-3，1）}+（n-3）a_{（n-3，2）}]

=…

=（n-1）!+n（n-2）!+n（n-1）（n-3）!+n（n-2）（n-4）!+…+n!

=（[1/n]+[1/n−1]+[1/n−2]+…+[1/3]+[1/2]+1）n!=（1+[1/2]+[1/3]+…+[1/n]）n!，

故答案为 （1+[1/2]+[1/3]+…+[1/n]）n!．

点评：

本题考点： 进行简单的合情推理；归纳推理．

考点点评： 本题主要考查归纳推理，求得，第n行的第一个 a（n，1）=（n-1）!，且 a（n+1，2）=a（n，1）+na（n，2），是解题的关键，属于中档题．