（1）在Rt△ABE中，
过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，
∴△ODB∽△ACB，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点O到BC的距离为
；
（2）证明：过点O作OE⊥BC于点E， OF⊥AC于点F，
∵△OEB∽△ACB，
∴
∴
∴
∴直线BC与⊙O相切
此时，四边形OECF为矩形，
∴AF=AC-FC=3-
=
，
∵OF⊥AC，
∴AP=2AF=
（3）
；
（4）过点O作OG⊥AC于点G， OH⊥BC于点H，则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，
又∵CO平分∠ACB，
∴OG=OH，
∴矩形OGCH是正方形，
设正方形OGCH的边长为x，则AG=3-x，
∵OG∥BC，
∵△AOG∽△ABC，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴AP=2AG=
。