数列{an} 中,a1=2,an+1=an+cn(c是不为零的常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成等比数列.

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)先利用递推关系式求出a1,a2,a3关于c的表达式,再结合a1,a2,a3成等比数列即可求c的值;

    (Ⅱ)先利用递推关系式求出an-an-1=(n-1)c,再利用叠加法得

    a

    n

    a

    1

    =[1+2++(n−1)]c=

    n(n−1)

    2

    c

    ;把(Ⅰ)的结论代入整理后即可求得{an} 的通项公式;

    (Ⅲ)把前两问的结论相结合求出数列

    {

    a

    n

    −c

    n

    }

    的表达式,再利用等差数列的定义证明即可.

    (Ⅰ)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,

    所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0(舍)或c=2.

    故c=2;(5分)

    (II)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,an-an-1=(n-1)c,

    所以an−a1=[1+2++(n−1)]c=

    n(n−1)

    2c.

    又a1=2,c=2,故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,).

    当n=1时,上式也成立,

    所以an=n2-n+2(n=1,2,);(5分)

    (Ⅲ)bn=

    an−c

    n=n−1;bn+1=n.bn+1-bn=1,

    ∴数列{

    an−c

    n}是等差数列.(5分)

    点评:

    本题考点: 数列递推式;等差关系的确定;等比数列的性质.

    考点点评: 本题主要考查数列递推式以及等差关系的确定问题.是对等差数列和等比数列知识的综合考查,属于中档题目.解决第二问的关键在于求数列通项中叠加法的应用.