数列{an} 中，a1=2，an+1=an+cn（ - 知识问答

数列{an} 中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．

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解题思路：（Ⅰ）先利用递推关系式求出a₁，a₂，a₃关于c的表达式，再结合a₁，a₂，a₃成等比数列即可求c的值；
（Ⅱ）先利用递推关系式求出a_n-a_n-1=（n-1）c，再利用叠加法得
a
n
−
a
1
＝[1+2++(n−1)]c＝
n(n−1)
2
c
；把（Ⅰ）的结论代入整理后即可求得{a_n} 的通项公式；
（Ⅲ）把前两问的结论相结合求出数列
{
a
n
−c
n
}
的表达式，再利用等差数列的定义证明即可．
（Ⅰ）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因为a₁，a₂，a₃成等比数列，
所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0（舍）或c=2．
故c=2；（5分）
（II）当n≥2时，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以an−a1＝[1+2++(n−1)]c＝
n(n−1)
2c．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．
当n=1时，上式也成立，
所以a_n=n²-n+2（n=1，2，）；（5分）
（Ⅲ）bn＝
an−c
n＝n−1；b_n+1=n．b_n+1-b_n=1，
∴数列{
an−c
n}是等差数列．（5分）
点评：
本题考点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．
考点点评：本题主要考查数列递推式以及等差关系的确定问题．是对等差数列和等比数列知识的综合考查，属于中档题目．解决第二问的关键在于求数列通项中叠加法的应用．

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