Question

已知关于x的方程x2+zx+4+3i=0有实数根，求复数z的模|z|的最小值．

Answer 1

解题思路：设x=x₀是方程x²+zx+4+3i=0的实数根，可求得

z＝−

x

0

−

4

x

0

−

3

x

0

i

，继而可得其模的解析式，应用基本不等式即可求得答案．

设x=x₀是方程x²+zx+4+3i=0的实数根，则

x20+zx0+4+3i=0，

即z=-x0-

4

x0-

3

x0i，

|z|=

(-x0-

4

x0)2+(-

3

x0)2=

x20+

25

x20+8≥

2

25+8=3

2，

当且仅当

x20=

25

x20，x0=±

5时，等号成立．

∴|z|的最小值为3

2．

点评：

本题考点： 复数代数形式的混合运算．

考点点评： 本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数模的应用，熟练应用基本不等式是求|z|的最小值的关键，属于中档题．