Question

一道数学题：已知P为抛物线y^2=-2x上的一点,F为焦点,M为抛物线的准线m与x轴的交点,连接PF

Answer 1

抛物线y^2=-2x的焦点为F(-1/2,0),准线为x=1/2

所以,点M(1/2,0)

已知点P在抛物线上,不妨设点P(-a^2/2,a)（a＞0）【如图】

四边形PFMH为直角梯形

其中：

|FM|=(1/2)-(-1/2)=1

|HM|=a

|PH|=(1/2)-(-a^2/2)=(a^2+1)/2

所以,S四边形PFMH=(|FM|+|PH|)*|MH|/2=7/2

===> [1+(a^2+1)/2]*a/2=7/2

===> a^3+3a-14=0

===> (a-2)*(a^2+2a+7)=0

===> (a-2)*[(a+1)^2+6]=0

===> a=2

则,-a^2/2=-2

所以,点P(-2,2)

由于抛物线的对称性,则点P'(-2,-2)也满足

即,点P(-2,±2)

当点P(-2,±2)时：

由抛物线的定义知,|PF|=|PH|=(1/2)-(-2)=5/2

|HM|=2

|FM|=1

所以,四边形PFMH的周长L=(5/2)*2+2+1=8.