已知等比数列{an}中,a2=1,则其前三项和S3的取值范围是______.

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  • 解题思路:根据等比数列的性质和第2项等于1,得到第1项与第3项的积为1,然后分两种情况:当公比q大于0时,得到第1项和第3项都大于0,然后利用基本不等式即可求出第1项和第3项之和的最小值,即可得到前3项之和的范围;当公比q小于0时,得到第1项和第3项的相反数大于0,利用基本不等式即可求出第1项和第3项相反数之和的最小值即为第1项和第3项之和的最大值,即可得到前3项之和的范围,然后求出两范围的并集即可.

    由等比数列的性质可知:a22=a1a3=1,

    当公比q>0时,得到a1>0,a3>0,

    则a1+a3≥2

    a1a3=2

    1=2,所以S3=a1+a2+a3=1+a1+a3≥1+2=3;

    当公比q<0时,得到a1<0,a3<0,

    则(-a1)+(-a3)≥2

    (−a1)(−a3) =2

    1=2,即a1+a3≤-2,所以S3=a1+a2+a3=1+a1+a3≤1+(-2)=-1,

    所以其前三项和s3的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).

    故答案为:(-∞,-1]∪[3,+∞)

    点评:

    本题考点: 等比数列的前n项和.

    考点点评: 此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用基本不等式求函数的最值,是一道中档题.