Question

扇形AOB的中心角为2θ，半径为r，在扇形AOB中作内切圆O1及与圆O1外切，与OA，OB相切的圆O2，问sinθ为何值

Answer 1

解题思路：运用圆与圆的位置关系和圆的面积公式进行求解．

设圆O₁及与圆O₂的半径分别为r₁，r₂，

则

(r−r1)sinθ＝r1

(r1+r2)cos(

π

2−θ)＝r1−r2，得

r1＝

rsinθ

1+sinθ

r2＝

r1(1−sinθ)

1+sinθ，

∴r2＝

r1(1−sinθ)

1+sinθ＝

rsinθ(1−sinθ)

(1+sinθ)2，

∵0＜2θ＜2π，∴0＜θ＜π，令t=sinθ+1（1＜t＜2），

r2＝

−t2+3t−2

t2＝−2(

1

t−

3

4)2+

1

8，当[1/t＝

3

4]，即sinθ＝

1

3时，

圆O₂的半径最大，圆O₂的面积最大，最大面积为

πr2

64．

点评：

本题考点： 圆与圆的位置关系及其判定；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 正确掌握圆与圆的位置关系是准确解题的关键．