解题思路:(1)设出G的坐标,利用Rt△OMP中必有
|GP|=
1
2
|OM|=
3
2
.说明P点的轨迹为以G为圆心[3/2]为半径的圆,得到P的轨迹方程.
(2)令|OP|=h,由题意知0<h≤3,求出△AOB的面积的表达式,利用二次函数在闭区间上的最大值求解即可.
(1)∵P是AB中点,∴OP⊥AB,取OM中点G,则在Rt△OMP中必有|GP|=
1
2|OM|=
3
2.
∴P点的轨迹为以G为圆心[3/2]为半径的圆,令P(x,y)则(x−
3
2)2+y2=
9
4,
即x2-3x+y2=0.
经检验知:AB为x轴及AB∥y轴均满足上式,∴P点的轨迹为x2-3x+y2=0…(6分)
(2)令|OP|=h,由题意知0<h≤3,
在Rt△APO中,|AP|=
25−h2即|AB|=2
25−h2,S△ABO=
1
2|AB|•|OP|=
1
2×2
25−h2•h=h
25−h2(0<h≤3)=
−h4+25h2(0<h≤3).
令t=h2则 0<t≤9,
易知S△ABO=
点评:
本题考点: 轨迹方程;函数的值域;圆的标准方程.
考点点评: 本题是综合题,考查曲线轨迹方程的求法,转化思想的应用,二次函数闭区间最值的求法,考查计算能力.