过点M(3,0)作直线l与圆x2+y2=25交于A、B两点.

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  • 解题思路:(1)设出G的坐标,利用Rt△OMP中必有

    |GP|=

    1

    2

    |OM|=

    3

    2

    .说明P点的轨迹为以G为圆心[3/2]为半径的圆,得到P的轨迹方程.

    (2)令|OP|=h,由题意知0<h≤3,求出△AOB的面积的表达式,利用二次函数在闭区间上的最大值求解即可.

    (1)∵P是AB中点,∴OP⊥AB,取OM中点G,则在Rt△OMP中必有|GP|=

    1

    2|OM|=

    3

    2.

    ∴P点的轨迹为以G为圆心[3/2]为半径的圆,令P(x,y)则(x−

    3

    2)2+y2=

    9

    4,

    即x2-3x+y2=0.

    经检验知:AB为x轴及AB∥y轴均满足上式,∴P点的轨迹为x2-3x+y2=0…(6分)

    (2)令|OP|=h,由题意知0<h≤3,

    在Rt△APO中,|AP|=

    25−h2即|AB|=2

    25−h2,S△ABO=

    1

    2|AB|•|OP|=

    1

    2×2

    25−h2•h=h

    25−h2(0<h≤3)=

    −h4+25h2(0<h≤3).

    令t=h2则 0<t≤9,

    易知S△ABO=

    点评:

    本题考点: 轨迹方程;函数的值域;圆的标准方程.

    考点点评: 本题是综合题,考查曲线轨迹方程的求法,转化思想的应用,二次函数闭区间最值的求法,考查计算能力.