解题思路:设x1,x2∈(-2,+∞)且x1<x2,化简f(x2)-f(x1),变形到因式乘积的形式,判断符号,注意分类讨论,可得答案.
设x1,x2∈(-2,+∞)且x1<x2∵f(x)=
ax+2a+1−2a
x+2=a+
1−2a
x+2(2分)
∴f(x2)-f(x1)=(a+
1−2a
x2+2)−(a+
1−2a
x1+2)
=(1−2a)(
1
x2+2−
1
x1+2)=(1−2a)•
x1−x2
(x2+2)(x1+2)(8分)
又∵-2<x1<x2,∴
x1−x2
(x2+2)(x1+2)<0
∴当1-2a>0,即a<
1
2时,f(x2)<f(x1),
当1-2a<0,即a>
1
2时,f(x2)>f(x1),
所以,当a<
1
2时,f(x)=
ax+1
x+2在(-2,+∞)为减函数;
当a>
1
2时,f(x)=
ax+1
x+2在(-2,+∞)为增函数.(12分)
点评:
本题考点: 函数单调性的判断与证明.
考点点评: 本题考查证明函数单调性的方法,体现分类讨论的数学思想.