判断函数f(x)=ax+1x+2(a≠12)在(-2,+∞)上的单调性,并证明你的结论.

1个回答

  • 解题思路:设x1,x2∈(-2,+∞)且x1<x2,化简f(x2)-f(x1),变形到因式乘积的形式,判断符号,注意分类讨论,可得答案.

    设x1,x2∈(-2,+∞)且x1<x2∵f(x)=

    ax+2a+1−2a

    x+2=a+

    1−2a

    x+2(2分)

    ∴f(x2)-f(x1)=(a+

    1−2a

    x2+2)−(a+

    1−2a

    x1+2)

    =(1−2a)(

    1

    x2+2−

    1

    x1+2)=(1−2a)•

    x1−x2

    (x2+2)(x1+2)(8分)

    又∵-2<x1<x2,∴

    x1−x2

    (x2+2)(x1+2)<0

    ∴当1-2a>0,即a<

    1

    2时,f(x2)<f(x1),

    当1-2a<0,即a>

    1

    2时,f(x2)>f(x1),

    所以,当a<

    1

    2时,f(x)=

    ax+1

    x+2在(-2,+∞)为减函数;

    当a>

    1

    2时,f(x)=

    ax+1

    x+2在(-2,+∞)为增函数.(12分)

    点评:

    本题考点: 函数单调性的判断与证明.

    考点点评: 本题考查证明函数单调性的方法,体现分类讨论的数学思想.