一道数学椭圆题,请问,已知椭圆C:(x2/a2)+(y2/b2)=1(a>b>0),其中c2=a2-b2,c/a=(根号

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  • 答案

    (Ⅰ)设F(c,0),当l的斜率为1时,其方程为x-y-c=0,

    O到l的距离为|0-0-c|/根号2=根号2/2,故c/根号2=根号2/2,c=1

    由e=c/a=根号3/3,得a=根号3,b^2=a^2-c^2=2.b=根号2

    (Ⅱ)C上存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有向量OP=OA+OB成立,

    由(Ⅰ)知C的方程为2x2+3y2=6,

    设A(x1,y1),B(x2,y2),

    (ⅰ)当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=k(x-1),

    C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1+x2,y1+y2),

    且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,

    整理得2x1^2+3y1^2+2x2^2+3y2^2+4x1x2+6y1y2=6,

    又A、B在C上,即2x1^2+3y1^2=6,2x2^2+3y2^2=6,

    故2x1x2+3y1y2+3=0,.(1)

    将y=k(x-1)代入2x^2+3y^2=6,

    并化简得(2+3k^2)x^2-6k^2x+3k^2-6=0,

    于是x1+x2=6k^2/(2+3k^2),x1x2=(3k^2-6)/(2+3k^2),y1y2=k^2(x1-1)(x2-1)=-4k^2/(2+3k^2)

    代入①解得,k2=2,此时x1+x2=3/2,

    于是y1+y2=k(x1+x2-2)=-k/2,即,P(3/2,-k/2)

    因此,当k=根号2时,P坐标是(3/2,-根号2/2),l的方程为y=根号2(x-1);

    当k=-根号2时,P坐标是(3/2,根号2/2),l的方程为y=-根号2(x-1);

    (ⅱ)当l垂直于x轴时,由OA+OB=(2,0)知,C上不存在点P使成立;

    综上,C上存在点P使成立,此时l的方程为y=土根号2(x-1).