Question

数一,一道证明,设函数f(x)在【0，3】上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，

Answer 1

证明：因为f(x)在[0,3]上连续,显然f(x)在[0,2]上连续,

根据连续函数的性质,知f(x)在[0,2]必存在最大值M和最小值m,于是

m≤f(0),f(1),f(2)≤M,则

m≤[f(0)+f(1)+f(2)]/3≤M

由介值定理知至少存在一点c∈[0,2]使得

f(c)=[f(0)+f(1)+f(2)]/3=1,从而f(c)=f(3)=1

且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,由罗尔定理知存在ξ,0≤c