已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,且满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,若函数

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  • 解题思路:利用函数的奇偶性和对称性,可得函数的周期,作出函数f(x)和g(x)的图象,利用数形结合即可得到结论.

    ∵函数f(x)是偶函数,且满足f(1+x)=f(1-x),

    ∴(1+x)=f(1-x)=f(x-1),

    即f(x+2)=f(x),

    ∴函数f(x)的周期是2,

    由h(x)=f(x)-g(x)=0,得f(x)=g(x),

    分别作出函数y=f(x),和y=g(x)的图象如图:

    当g(x)=log5x=1,解得x=5,

    则由图象可知区间(0,5]内,两个函数有4个不同的交点,

    即h(x)=f(x)-g(x)在区间(0,5]内的零点的个数是4个,

    故选:C

    点评:

    本题考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质;函数零点的判定定理.

    考点点评: 本题主要考查函数零点个数的判断,利用函数的奇偶性判断函数f(x)的周期性是解决本题的关键,将条件转化为2个函数图象的交点问题是解决函数零点个数问题的基本方法.主要使用数形结合的数学思想.