证明：因为ABCD为矩形,所以AC=BD,设AC与BD相交于O,因为AE=DF,所以OE=OF,且OB=OC.
所以∠OEF=∠OFE,∠OBC=∠OCB,又因为∠EOF=∠BOC,所以∠EFO=∠OBC,所以EF‖BC.
又因为∠EOB=∠FOC,所以△EBO≌△FCO(SAS),所以BE=FC.
所以四边形EBCF是等腰梯形.
延长BA,CD相交于Q.因为是ABCD等腰梯形,所以AB=CD,∠B=∠C,所以△QBC是等腰三角形.又因为PE垂直于AB,PF垂直于CD,BG垂直于CD.
连接PQ,所以△QBC的面积=1/2×（QB×PE+QC×PF）=1/2QC×BG
所以QB×PE+QC×PF=QC×BG,又因为△QBC是等腰三角形,所以QB=QC,所以QC×(PE+PF)=QC×BG,所以PE+PF=BG.