设a∈R,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是f′(x),若f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处

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  • 解题思路:先由求导公式求出f′(x),根据偶函数的性质,可得f′(-x)=f′(x),从而求出a的值,然后利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而写出切线方程.

    f′(x)=3x2+2ax+(a-3),

    ∵f′(x)是偶函数,

    ∴3(-x)2+2a(-x)+(a-3)=3x2+2ax+(a-3),

    解得a=0,

    ∴k=f′(0)=-3,

    ∴切线方程为y=-3x.

    故选A.

    点评:

    本题考点: 导数的运算.

    考点点评: 本题主要考查求导公式,偶函数的性质以及导数的几何意义,难度中等.