Question

求微分方程y''-4y=4,y|x=0=1,y'|x=0=0的特解

Answer 1

∵齐次方程y"-4y=0的特征方程是r^2-4=0,则r=±2

∴此齐次方程的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(-2x) (C1,C2是常数)

∵设原方程的解为y=A

代入原方程得-4A=4,则A=-1

∴y=-1是原方程的一个解

即原方程的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-1

∵y|x=0=1,y'|x=0=0

∴代入通解,得C1+C2-1=1,2C1-2C2=0

==>C1=C2=1

故原方程满足所给初始条件的特解是y=e^(2x)+e^(-2x)-1.