解题思路：（Ⅰ）函数过原点，则得b=0，由有f（1+x）=f（1-x）可得函数关于x=1对称，然后可求实数 a，b的值；
（Ⅱ）利用函数是奇函数，可求函数g（x）的解析式．
（Ⅰ）∵函数经过原点，∴b=0（2分）
又因为对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
∴f（x）的对称轴为x=1（4分）
所以−
a
2＝1，解得a=-2（6分）
（Ⅱ）当x≥0时，g（x）=x2-2x，
当x＜0时，-x＞0，
g（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x
∵g(x)为奇函数∴g(−x)＝−g(x)
∴g(x)＝−x2−2x（10分）
g(x)＝
x2−2x
−x2−2x，
(x≥0)
(x＜0)（12分）
点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；二次函数的性质．
考点点评： 本题考查函数解析式的求法，以及利用函数的奇偶性求函数的解析式，利用函数奇偶性的对称性进行转化即可．