Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，

Answer 1

（1）在△ABD中，∵E是BD的中点，

∴EA=EB=ED=AB=1，∴AE=

1

2 BD ，

可得∠BAD=

π

2 ，且∠ABE=∠AEB=

π

3 ，

∵△DAB≌△DCB，

∴△EAB≌△ECB，

从而有∠FED=∠FEA= ∠AEB=

π

3 ，

故EF⊥AD，AF=FD，

又∵△PAD，中，PG=GD，

∴FG是△PAD的中位线，

∴FG ∥ PA．

又PA⊥平面ABCD，

∴FG⊥平面ABCD，

∵AD⊂平面ABCD，

∴GF⊥AD，

又∵EF，FG是平面CFG内的相交直线，

∴AD⊥平面CFG．

（2）∵PA、PB、PD两两垂直，可补形成长方体，

其外接球2R=

1 2 + (

3 ) 2 + (

3

2 ) 2 =

5

2 ，

∴R=

5

4 ，

∴ V=

4

3 π R 3 =

125π

48 ．