解题思路：（1）对于函数f1（x）=x2利用C函数的定义，对任意实数x1，x2及α∈（0，1），f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2）=-α（1-α）（x1-x2）2≤0；对于函数
f
2
(x)＝
1
x
(x＜0)
，可取x1=-3，x2=-1，
α＝
1
2]⇒f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2）=[1/6]＞0⇒
f
2
(x)＝
1
x
(x＜0)
不是C函数；
（2）对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，
α＝
n
m
∈[0，1]
，利用C函数的概念求得an=2n，从而转化为等差数列的求和
问题．
（Ⅰ）f1（x）=x2是C函数，证明如下：
对任意实数x1，x2及α∈（0，1），
有f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2）=（αx1+（1-α）x2）2-αx12-（1-α）x22=-α（1-α）x12-α（1-α）x22+2α（1-α）x1x2=-α（1-α）（x1-x2）2≤0．
即f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）．
∴f1（x）=x2是C函数．
f2(x)＝
1
x(x＜0)不是C函数，证明如下：
取x1=-3，x2=-1，α＝
1
2，
则f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2）=f(−2)−
1
2f(−3)−
1
2f(−1)＝−
1
2+
1
6+
1
2＞0．
即f（αx1+（1-α）x2）＞αf（x1）+（1-α）f（x2）．
∴f2(x)＝
1
x(x＜0)不是C函数．
（Ⅱ） 对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α＝
n
m∈[0，1]，
∵f（x）是R上的C函数，an=f（n），且a0=0，am=2m，
∴an=f（n）=f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）=[n/m×2m＝2n；
那么Sf=a1+a2+…+am≤2×（1+2+…+m）=m2+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得an=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时Sf=m2+m．
综上所述，Sf的最大值为m2+m．
点评：
本题考点： 数列的求和；函数的最值及其几何意义．
考点点评： 本题考查函数的概念与最值及数列的求和，难点在于（1）中f2(x)＝1x(x＜0)不是C函数的判断（特值排除法）及（2）中Sf的最大值的求法，通过对C函数的理解转化为数列求和问题，属于难题．
1年前
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