Question

数值分析的证明题研究求a^1/2的牛顿公式X（k+1）=1/2(Xk+a/Xk),X0>0.证明对一切k=1,2,...

Answer 1

（1）首先证明所有的x(k)都大于零,因为x(0)>0,这个显然.

（2）利用不等式1/2(a+b)>=sqart(ab) 证明所有的x(k)>=a^1/2,x(k+1)=1/2(x(k)+a/x(k))>=sqart{x(k)*a/x(k)}=sqart(a)=a^1/2.

等号当且仅当x(k)=a^1/2时成立,进而等号成立的条件为x(k)=x(k-1)=...=x(0)=a^1/2.

（3）如果x(0)不等于a^1/2才是递减的.

这是因为此时有所有x(k)>a^1/2.

x(k+1)-x(k)=1/2{x(k)+a/x(k) }-x(k)=1/2{a/x(k)-x(k)}=1/2 *[a-x(k)^2]/x(k)