楼上的都太繁了,这里给个利用函数单调性的简证：
证明：
构造函数f(x)=x^(2/3)
令F(x)=f(x)/x=x(-1/3)
显然,当x>0时,F(x)为减函数.
而我们所证即f(a)+f(b)>f(a+b),而f(a+b)=(a+b)F(a+b)
又注意到f(a)+f(b)=af(a)/a+bf(b)/b=aF(a)+bF(b)
于是上式又等价于：aF(a)+bF(b)>(a+b)F(a+b)
因为必有aF(a+b),
于是aF(a)+bF(b)>aF(a+b)+bF(a+b)=(a+b)F(a+b)
得证.