Question

微分方程y″+2y′+y=xe-x的通解为______．

Answer 1

解题思路：首先，将对应齐次方程的特征根求出来；然后根据xe^-x和特征根，求得其特解形式．

由于特征方程为r²+2r+1=0，解得特征根为r=-1（2重）

∴齐次方程的通解为y＝(C1+C2x)e−x

而f（x）=xe^-x，λ=-1

故有特y^*=x²（ax+b）e^-x，

代入微分方程y″+2y′+y=xe^-x，解得

a＝

1

6，b＝0

∴特解y*＝

1

6x3e−x

∴通解为：

y＝(C1+C2x+

1

6x3)e−x

点评：

本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程求解．

考点点评： 此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解，是基础知识点．