Question

椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点P(3,1)其左右焦点分别为F1F2且向量F1P*向量F2P=-6

Answer 1

1

F1(-c,0) F2(c,0)

向量F1P (3+c,1)

向量F2P (3-c,1)

F1P*F2P=(3+c)(3-c)+1=-6

10-c^2=-6

c^2=16

P(3,1)

2a=F1P+F2P=√[(3-4)^2+1]+√((3+4)^2+1)=6√2

a=3√2

a^2=18

b^2=2

x^2/18+y^2/2=1

2设F1M和F2N的交点为S

那么F1S垂直F2S

S在x^2+y^2=16圆上

S(4cosu,4sinu)

F1M直线：y=[4sinu/(4cosu+4)](x+4)

x=5,y=9sinu/(cosu+1)=9tan(u/2)

F2N直线：y=[4sinu/(4cosu-4)](x+4)

x=5,y=-9cot(u/2)

MN=9(tanu/2+cotu/2)=18/sinu

Cx=5,Cy=9(tanu/2-cotu/2)=-18cotu

(x-5)^2+(y+18cotu)^2=18^2/sinu^2

随着u的变化,MN和圆心C都在变化,因此圆C不会过定点