Question

（2011•汕头模拟）设圆Q过点P（0，2），且在x轴上截得的弦RG的长为4．

Answer 1

解题思路：（1）借助于图象把已知条件转化为|QR|²=|QH|²+|RH|²，就可求出圆心Q的轨迹E的方程；

（2）先利用条件求出AB的中点M的坐标与直线AB的斜率之间的关系式，以及CD的中点N与直线CD的斜率之间的关系式；再求出直线MN的方程，整理可以得到直线MN所过定点．

（1）设圆心Q的坐标为（x、y），如图过圆心Q作QH⊥x轴于H，

则H为RG的中点，在Rt△RHQ中，|QR|²=|QH|²+|RH|²

∵|QR|=|QP|，|RH|=2，

∴x²+（y-2）²=y²+4

即x²=4y，所以轨迹E的方程为x²=4y．（5分）

（2）设A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B），M（x_m，y_m）、N（x_N，y_N）

直线AB的方程为y=kx+1（k≠0），联立x²=4y有：x²-4kx-4=0

∴xM＝

xA+xB

2＝2k，y_M=kx_M+1=2k²+1，

∴点M的坐标为（2k，2k²+1）．（7分）

同理可得：点N的坐标为(−

2

k，

2

k2+1)．

直线MN的斜率为KMN＝

yM−yN

xM−xN＝

k2−

1

k2

k+

1

k＝

k2−1

k，

其方程为y−2k2−1＝

k2−1

k(x−2k)，整理得k（y-3）=（k²-1）x，

不论k为何值，点（0，3）均满足方程，

∴直线MN恒过定点（0，3）．（12分）

点评：

本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题涉及到求轨迹方程问题．在求动点的轨迹方程时，一般是利用条件找到关于动点坐标的等式，整理可得所求方程．