Question

设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)^2+(y-1)^2=1相切则m+n的取值范围是、用

Answer 1

圆心（1,1）半径为1

因为相切

所以由距离公式得

|m+1+n+1-2|/√[(m+1)²+(n+1)²]=1

m^2+2m+1+n^2+2n+1=(m+n)^2

m^2+2m+1+n^2+2n+1=m^2+2mn+n^2

化简得2mn=2(m+n)+2

m+n+1=mn

因为(m-n)^2≥0

m^2-2mn+n^2≥0

m^2+n^2≥2mn

m^2+2mn+n^2≥4mn

(m+n)^2≥4mn

mn≤(m+n)^2/4

令m＋n＝t,则有t＋1≤ t²/4

即t²－4t－4≥ 0

解得t≥ 2＋2√2或t ≤2－2√2

∴m＋n的取值范围是(－∞,2－2√2]∪[2＋2√2,＋∞).