Question

正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的

Answer 1

已知：正四面体P-ABC高h,内切球O半径r

求证：r=h/4

证明：作△ABC的高CD、连结PD,作P在ABC上射影E则E在CD上,作C在PAB上射影F则F在PD上,PE与CF相交于球心O,则OE=OF=r,PE=CF=h,

设四面体棱长为1,则CD=PD=√3/2,ED=FD=1/3*√3/2=√3/6,PF=2/3*√3/2=√3/3,

Rt△PED中PE=√(PD^2-DE^2)=√[(√3/2)^2-(√3/6)^2]=√6/3=h,

∵△PFO∽△PED,∴OF/DE=PF/PE,∴OF=(√3/6)*(√3/3)/(√6/3)=√6/12=r,

∴r/h=(√6/12)/(√6/3)=1/4,即r=h/4,证毕.