Question

函数f(x)在【0,1】上连续可微,证明：lim n->无穷 n积分符号（0——1） x^n f(x)dx=f(1)

Answer 1

对∫(0到1) x^nf(x)dx用分部积分法,∫(0到1) x^nf(x)dx＝1/(n+1)×∫(0到1) f(x)dx^(n+1)＝f(1)/(n+1)-1/(n+1)×∫(0到1) x^(n+1) f'(x)dx,对∫(0到1) x^(n+1) f'(x)dx用积分第一中值定理,存在b∈(0,1),使得∫(0到1) x^(n+1) f'(x)dx＝f'(b)×∫(0到1) x^(n+1) dx＝f'(b)/(n+2).

所以∫(0到1) x^nf(x)dx＝f(1)/(n+1)-1/(n+1)×f'(b)/(n+2),所以lim n ∫(0到1) x^nf(x)dx＝lim [f(1)/(n+1)-1/(n+1)×f'(b)/(n+2)]＝f(1)