Question

如图已知三角形ABC中,角C=90°,角B=60°,AC=4,等边三角形DEF的一边在三角形AC上移动,当点E与点C重合

Answer 1

1.当D在AB上时

∵△DEF为等边△

∴∠DCA=60度

∵∠C=90度

∴∠BCD=90-60=30度

∵∠B=60度

∴∠BCD=90度

即CD⊥AB,△CDA为Rt△

∵∠A=90-60=30度

∴CD=AC的一半 CD=2

即△DEF边长为2

2.在移动中观察出CE和EG长度始终保持相等

证明：设DG=x,则GF=DF-DG=2-x

∵∠A=30度 ∠DEF=60度

∴∠EHA=90度 即EH⊥AB

∵∠DEF=60度

∴∠DGH=90-60=30度

∴对顶角∠AGF=30度=∠A

∴△AGF是等腰三角形

∴GF=AF=2-x

∴CE=AC-EF-AF=4-2-(2-x)=x

即CE=DG

3.首先容易算出S△DEF=√3

∵DG=CE=x ∠EDF=60度 EH⊥AB

∴DH=x/2,HG=√3DH=√3x/2

∴S△DHG=(√3x^2)/8

∴S重叠=S△DEF-S△DHG=√3-(√3x^2)/8

即y=√3-(√3 * x^2)/8

∵当F点移动到与A点重合时 DG=CE=2(最大值)

∴自变量x的取值范围是0